Introduction: topologie, topologie usuelle de la droite réelle
La définition générale d'un espace topologique est la suivante: Un espace topologique est un couple $(E,\mco)$ tel que $E$ est un ensemble et $\mco$ une partie de $\mcp(E)$, l'ensemble des parties de $E$ tel que $\emptyset$ et $E$ sont des éléments de $\mco$ et $\mco$ est stable par réunion et par intersection finie.
Si $(E,\mco)$ est une topologie, l'ensemble $\mco$ s'apelle une topologie sur $E$ et un élément de $\mco$ s'appelle un ouvert de l'espace topologique $(E, \mco)$ et le complémentaire de tout élément de $\mco$ s'appelle un fermé de cet espace topologique.
Une des plus importante façons de construire une topologie sur un ensemble $E$ est de considérer une partie quelconque $\mca$ de $\mcp(E)$ est de chercher à construire le plus petite topologie de $E$ contenant $\mca$. Elle est appelée la topologie engendrée par $\mca$.
On peut démontrer que si $\mca$ est une partie de $\mca$ et $\mca_1$ est l'ensemble de toutes les intersections finies des éléments de $\mca$ et $\mca_2$ est l'ensemble de toutes les réunions des éléments de $\mca_1$ alors $\mca_2$ est une topologie sur $E$ et c'est exactement la topologie engendrée par $\mca$.
La topologie usuelle de la droite réelle est celle provenant de la valeur absolue, qui est une norme sur $\R$. Autrement dit, on a :
(1) $\fa x,y \in \R, \quad |x+y| \leq |x| + |y| $.
(2) $\fa(\la,x) \in \R\times \R, \quad |\la x|= |\la| |x|$.
(3) $\fa x \in \R, \quad |x|=0 \im x=0$.
La topologie usuelle de $\R$ est par définition celle engendrée par les intervalles ouverts bornés de $\R$, c'est-à-dire les intervalles de la forme $]a,b[$, avec $(a,b)\in \R^2$ et $a \leq b$. Les ouverts de cette topologie sont en conséquence toutes les parties $W$ de $\R$ qui sont des réunions quelconques d'intervalles ouverts bornés.
Ceci provient du fait que les boules ouvertes de l'espace vectoriel normé $(\R, |.|)$ sont exactement les intervalles $]a,b[$. En effet $]a,b[=B(c,r)$ avec $c=\frac{a+b}{2}$ et $r=\frac{b-a}{2}$. Ce qu'on peut exprimer par l'équivalence suivante, valable pour tout nombre réel $x$: $$ a< x < b \eq \left|x-\frac{a+b}{2}\right| < \frac{b-a}{2}$$
Topologie produit de deux espaces topologiques
Considérons deux espaces topologiques $(E_k,\mco_k)$ avec $k\in \{1,2\}$. Soit $E=E_1\times E_2$ et $\mco$ la topologie de $E$ engendrée par $\mco_1 \times \mco_2$. Alors $(E,\mco)$ s'appelle l'espace topologique produit de deux espaces topologiques $(E_k,\mco_k)$ avec $k\in \{1,2\}$. Remarquons que si $W_1= A_1\times B_1$ et $W_2= A_2 \times B_2$, avec $A_k$ et $B_k$ sont des ouverts respectifs de $(E_1,\mco_1)$ et $(E_2,\mco_2)$ pour tout $k \in \{1,2\}$, alors on a :
$$(\star) \quad W_1 \cap W_2= (A_1\times B_1) \cap (\times A_2\times B_2) = (A_1\cap A_2) \times (B_1 \cap B_2),$$
En effet, pour tout $(x_1,x_2)\in E_1 \times E_2$, on a : $(x_1,x_2) \in (A_1\times B_1) \cap (\times A_2\times B_2)$ si et seulement si $(x_1,x_2) \in (A_1\times B_1) $ et $(x_1,x_2) \in (\times A_2\times B_2)$ si et seulement si $x_1\in A_1$ et $x_2 \in B_1$ et $x_1 \in A_2$ et $x_2 \in B_2$ si et seulement si $x_1 \in A_1 \cap A_2$ et $x_2 \in B_1 \cap B_2$ si et seulement si $(x_1,x_2) \in (A_1\cap A_2) \times (B_1 \cap B_2)$, ce qui prouve bien $(\star)$ ci-dessus.
Il en découle que les ouverts de la topologie produit sont exactement les réunions quelconques des ouverts de la forme $O_1 \times O_2$ où $O_k$ est un ouvert de l'espace topologique $(E_k,\mco_k)$, pour tout $k\in \{1,2\}$.
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