je viens de redémontrer que la dimension de $\text{Vect}(N)$ est $n^2-1$ avec $N$ l'ensemble des matrices nilpotentes. Toute matrice nilpotente est de trace nulle donc $V$ est contenu dans l'hyperplan des matrices de trace nulle. donc sa dimension ne dépasse pas $n^2-1$. Or on montrer que si $A$ est une matrice de trace nulle elles est semblable à une matrice dont les termes diagonaux sont tous nuls. cette dernière est somme d'une matrice triangulaire sup et une autre tr inf.
Pour démontrer le lemme on le fait par récurrence : pour $n=2$ on voit que si $f$ est l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ alors soit $x$ et $f(x)$ sont colinéaires $\forall x$ dans ce cas on a une homothétie donc par trace nulle $f$ est nul. Sinon alors il existe $x_1,x_2$ tel que $x_2=f(x_1)$ et $(x_1,x_2)$ libre la matrice de $f$ dans la base $(x_1,x_2)$ est de la forme : $B=\left(\begin{array}{cc}0&b\\a&d\end{array}\right)$ et comme $B$ de trace nulle on a $d=0$
Pour l'hérédité, Soit $n \geq 2$ tel que la propriété est vérifiée et $A$ une matrice de taille $n+i$ de trace nulle, et $u$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$.
1er cas: Si $u$ est une homothétie comme $\tr(u)=0$ on a $u=0$.
2e cas: Si $u$ n'est pas une homothétie, il existe $x_1$ tel que $(x_1,u(x_1)$ est libre. Par le théorème de la base incomplète, il existe une base $(v_, \cdots, v_{n+1})$ de $E$ tel que $v_1=x_1$ et $v_2=u(x_1)$. La matrice de $u$ dans cette base est :$$\matrd{0&*}{U&B} \;\text{où}\; U=\begin{pmatrix}1\\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix} \et B \in \mcm_n(\K)$$Le bloc $B$ étant une matrice carrée de taille $n$ et comme $\tr(A')=0$ ($A'$ semblable à $A$), on a $\tr(B)=0$. Par hypothése de récurrence, la matrice $B$ est semblable à $B'$ à termes diagonaux nuls. Soit $E'=\text{Vect}(v_2, \cdots, v_{n+1})$ et $\pi$ la projection sur $E'$ parallèlement à $\K v_1$, et soit $u'= \pi \circ u$. On voit facilement que $E'$ est $u'-$stable et que la matrice de l'endomorphisme induit $\tilde{u'}$ relativement à la base $(v_2, \cdots,v_{n+1})$ est $B'$. L'hypothèse de récurrence s'applique, il existe une base $W'=(w_2,\cdots,w_{n+1})$ de $E'$ tel que la matrice $C'$ de $\tilde{u'}$ dans $W'$ est à diagonale nulle. Si on considère $W=(w_1,w_2,\cdots,w_{n+1})$ avec $w_1=v_1$, on a $\text{mat}_{W}(u)=\matrd{0&*}{*&C'}=C$ et il est clair que $C$ est à diagonale nulle.
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