Produit de deux matrices: une façon de voir

$\def\trans{^{\text{t}}}\def\K{\mathbb K}\def\fa{\forall}$ Quand un étudiant découvre, pour la première fois, la définition du produit de deux matrices, il est surpris par la condition imposée sur les tailles des deux matrices tout comme la façon avec laquelle on définit le produit. Si $A\in\mcm_{n,r}(\K)$ et $B\in\mcm_{r,p}(\K)$, notons $(L_i)_{i\in[\![1,n]\!]}$ la famille des lignes de $A$ et $(C_j)_{j\in[\![1,p]\!]}$ la famille des colonnes de $B$ et  pour tout $(i,j)\in[\![1,n]\!]\times[\![1,p]\!]$, considérons le scalaire $c_{i,j}=L_i \trans{}C_j$. Si on note $a_{k,l}$ et $b_{k,l}$ les coefficients de $A$ et $B$, il est clair que $c_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^r a_{i,k}b_{k,j}$, ce qui donne la matrice $C=(L_i\times \trans{C_j})_{\substack{1\leq i \leq n \\  1 \leq j \leq p}}$ qui n'est autre que le produit des matrices $A$ et $B$, donc $C=A\times B$, et on déduit de cette remarque que si on note $L_i'$ la ligne de rang $i$ de la matrice $C$ alors on a $\forall i, L_i=0\im L_i'=0$

et de même si on note $C_j'$ la colonne $j$ de $C$,  on a $\fa j , C_j=0\im C_j'=0$ et on déduit aussi que la ligne $i$ de $C$ est $L_i'=\sum\limits_{j=1}^r a_{i,j} L_{j}''$ où $L_j''$ est la ligne $j$ de $B$ et les coefficients $a_{i,j}$ sont ceux de la ligne $L_i$.

Un visualisation: Si on veut calculer la colonne numéros $i$ du produit, c'est la combinaison linéaire des colonnes de $B$ par les coefficients de la  ligne $i$ de $A$.

Il découle de cette façon de voir que si $A$ et $B$ sont des matrices carrées d'ordre $n$ et si la ligne de rang $i$ de $A$ est égale à la ligne d'ordre $i$ de la matrice unité c'est-à-dire si $L_i=(\delta_{i,j})_{1\leq j \leq n}$ alors la ligne $i$ du produite $(A\times B)$ est égale à la ligne d'ordre $i$ de $B$.

On peut aussi faire la remarque que $(A\times B)_{i,j}=\prsc{\trans{}L_i,B_j}$, c'est-à-dire le produit scalaire de deux colonnes, chose qui explique mieux la formule connu:

$$[A\times B]_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^r[A]_{i,k}[B]_{k,j} $$

dont on est habitué le plus car c'est elle qui est donné dans les cours traditionnels sur les matrices et elle peut se déduire de la composition des applications linéaires canoniquement associés aux diverses matrices.