On rappelle que si $E$ est un $\K-$espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes de $E$ sont équivalentes. On suppose que $(E,\prsc{.})$ est un espace euclidien de dimension $n$ avec $n\in\N^*$ et on note $\O_n(E)$ le groupe des endomorphismes orthogonaux de $E$ (un endomorphisme $u\in\mcl(E)$ est orthogonal si et seulement si $u$ conserve la norme si et seulement si $u$ conserve le produit scalaire. On note $\O_n(\R)$ le groupe des matrice orthogonale d'ordre $n$(une matrice $A\in\mcm_n(\R)$ est orthogonale si et seulement si $A$ est inversible et $A^{-1}=\trans{}A$.) On rappel que $\O_n(E)$ et $\O_n(\R)$ sont isomorphes et on se propose de donner une preuve du théorème suivant:
Remarquons tout d'abord que, $\mcm_n(\R)$ étant de dimension finie, il suffit de prouver que $O_n(\R)$ est une partie fermée bornée de $\mcm_n(\R)$. Si $A\in\O_n(\R)$ comme $\trans A\times A = I_n$, alors, en particulier pour toute colonne $C_j$ de $A$,on a $\trans{}C_j C_j=\|C_j\|^2=1$, donc si on note $(a_{i,j})$ le coefficients général de $A$, on a $\|A\|^2=\sum\limits_{i,j} a_{i,j}^2= \sum\limits_{j=1}^n \|C_j\|^2=n$. Ainsi on a: $\fa A\in\O_n(\R),\quad \|A\|= \sqrt{n}$, donc $\O_n(R)$ est une partie bornée de $\mcm_n(\R)$.
Par ailleurs, si on note $\Phi$ l'application $\Phi:\mcm_n(\R)\to\mcm_n(\R); M\mapsto \trans{}MM$, on peut dire que $\Phi$ est continue car $\Phi=\Psi\circ \psi$ avce $\psi:\mcm_n(\R)\to \mcm_n(\R)^2; M\mapsto \psi(M)=(\trans{}M, M)$ et $\Psi: \mcm_n(\R)^2\to\mcm_n(\R); (X,Y)\mapsto \Psi(X,Y)=XY$. Il est aisé de rmarque que $\psi$ est une application linéaire et $\Psi$ est une application bilinéaire, et comme tous les espaces sont de dimensions finies, les application $\psi$ et $\Psi$ sont continues, donc $\Phi$ est continue. On remarque que $\O_n(\R)=\Phi^{-1}(\{I_n\})$, et comme $\{I_n\}$ est un fermé de $\mcm_n(\R)$, on a $\O_n(\R)$ est fermé, donc compact car fermé et borné.
- Se connecter pour poster des commentaires