On se donne des entiers naturels $n_k, k \in [\![1,p]\!]; p \geq 2$ premiers entre eux $2$ à $2$ et des entiers relatifs $a_k,k \in [\![1,p]\!]$ quelconques. on se propose de résoudre le système : $$x \equiv a_k\quad[n_k], k \in [\![1,p]\!]$$
Soit $$n=\prod\limits_{k=1}^p n_k$$ et $$n'_k=\frac{n}{n_k},k=1..p.$$ D'après Bezout, et comme pour $k=1..p$, on a $n_k \wedge n'_k=1$, il existe $u_k,u'_k \in \mathbb{Z}$ tel que $$u_kn_k+u'_kn'_k=1, k \in [\![1,p]\!]$$
Pour tout $k \in [\![1,p]\!]$, posons $e_k=u'_kn'_k$, alors :
$$\left\{\begin{array}{l}e_k \equiv 1\;[n_k] \\ e_k \equiv 0\;[n_j] \si j \neq k \end{array}\right. $$
Soit $$x_0 =\sum\limits_{k=1}^p e_k a_k= \sum\limits_{k=1}^p n'_ku'_ka_k.$$ Alors $x_0$ est une solution du système. $x \in \mathbb{Z}$ est solution si et seulement si $x \equiv x_0\quad[n]$
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