Trois polynômes

Soit $u$ un endomorphisme trigonalisable de $E$ où $E$ est un espace vctoriel de dimension $n$. On note $\la_1,\dots, \la_m$ toutes les valeurs propres deux à deux distinctes de $u$. On dispose de trois polynômes: $P_u=\prod\limits_{k=1}^n (X-\la_k)$, $\pi_u$ le polynôme minimal de $u$ et $\chi_u$ le polynôme caractéristique de $u$ et ils sont liés par la relation de divisibilité  $P_u |  \pi_u  | \chi_u$ et comme on le voit ils sont tous unitaires. Une question est d'étudier les cas d'égalités dans les divisibilités ci-dessus et remarquons tout de suite que $P_u=\pi_u=\chi_u$ si et seulement si $u$ est à la fois diagonalisable et cyclique. On sait que $P_u=\pi_u$ si et seulement si $u$ est diagonalisable et on peut démontrer que $\pi_u=\chi_u$ si et seulement si $u$ est cyclique c'est-à-dire il existe un vecteur $x$ de $E$ tel que $E=\vect\{u^k(x)/k\in \N\}$, ce qui veut dire la famille $(x,u(x),\dots,u^k(x))$ est une base de $E$ et on peut prouver que cela est équivalent à l'existence d'une base $b$ de $E$ tel que la matrice de $u$ relativement à $b$ est de la forme $$\ca, \; \text{où}\;  a=(a_0,\dots,a_{n-1}) \in \K^n.$$ La matrice $C_a$ est appelée matrice compagnon et on peut prouver que ses polynômes minimal et caractéristique réalisent $$\pi_a=\chi_a=X^n-\sum\limits_{k=0}^{n-1} a_k X^k.$$ Il en découle aussi que pour tout polynôme $P$ unitaire de degré $n$, il existe au moins une matrice $M\in\mcm_n(\K)$ (donc un endomorphisme $f$ de $E=\K^n$) tel que $\chi_M=\chi_u=P$ et la même chose  pour le  polynôme minimal. Les matrices compagnon ont des propriété dont la fait que tous leur sous-espaces propres sont des droites vectorielles.