Soit $E=\R^3$ et soit $u \in L(E)$. Notre objectif est de déterminer tous les sous-espaces de $E$ stables par $u$.
1er cas : $u$ est diagonalisable Ce cas ne pose pas de problème : les sous-espaces stables sont exactement ceux engendrés par des vecteurs propres de $u$. En effet un sens est immédiat, pour l'autre si $V$ est un sev de $E$ stable soit $\tilde u = u/V$ l'endomorphisme induit alors le polynôme minimal $\mu(u)$ de $u$ annule $\tilde u$ donc $\tilde u$ est diagonalisable et ses valeurs propres sont des valeurs propres de $u$, ce qui prouve que $V$ possède une base de vecteurs propres de $u$.
Deuxième cas : $u$ n'est pas diagonalisable
On va raisonner suivant le polynôme caractéristique de $u$.
$\bullet$ Si $\chi_u=-(X-\lambda)(X^2+aX+b)$ avec $a^2-4b < 0$. Le lemme des noyaux et Cayley-Hamilton donnent $E=\ker(u-\lambda I) \oplus \ker(u^2+au+bI)$ et on dispose du plan stable $\Pi=\ker (u^2+au+bI)$. Si $V$ est un plan stable et $\tilde u$ l'endomorphisme induit par $u$ à $V$ alors forcément $\chi_{\tilde u} = X^2+aX+b$ et on a $V=\Pi$ (en effet on a $V \subset \Pi$ par Cayley-Hamilton.). Ainsi $\Pi$ est le seul plan stable par $u$.
$\bullet$ Si $\chi_u=(X-\lambda)^2(X-\mu)$ avec $\lambda \neq \mu$: On a deux possibilités pour $\chi_{\tilde u}$, soit $(X-\lambda)^2$ Soit $(X-\lambda)(X-\mu)$. Dans le premier cas on a $V =\Pi_1=\ker(u-\lambda I)^2$ qui est forcément un plan en vertu du lemme des noyaux et cayley Hamilton. Dans le secod cas $V=\Pi_2=\ker(u-\lambda I)(u-\mu I)$ qui est un plan car égal à $\ker(u-\lambda I) \oplus \ker (u-\mu I)$ et $\ker (u-\mu I)$ est une droite et de même pour $\ker(u-\lambda I)$ car $u$ n'est pas diagonalisable. Conclusion: il y a exactement deux plans stables à savoir $\Pi_1$ et $\Pi_2$
$\bullet$ Si $\chi_u=(X-\lambda)^3$ deux cas sont possibles :
- 1er cas: $(u-\lambda u)^2 \neq 0$ alors $\Pi= \ker(u-\lambda)^2$ est un plan vectoriel car la suite $\ker(u-\lambda I)^k)_{0 \leq k \leq 3}$ est strictement croissante et possède $4$ termes dont le plus petit est $\{0\}$ et le plus grand $E$. Si $V$ est $u-$stable alors $\chi_{\tilde u}=(X-\lambda )^2$ et $V=\Pi$ pour les mêmes raisons que les cas qui précédent.
- 2em cas :$(u-\lambda I)^2=0$ : Si $x_0 \in E$ alors la famille $(x_0,u(x_0))$ est libre si et seulement si $x_0 \not \in \Pi= \ker(u-\lambda I)$ qui est un plan d'après les résultats de l'article no 52 ci-dessus. Ainsi les plans stables sont $\Pi$ et les plans de la forme $\Pi_x=\text{Vect}\{x,u(x)\}$ où $x \in E \backslash \Pi$.
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