On considère un espace vectoriel normé $(E,\|.\|)$ sur le corps $\K$ avec $\K=\R$ ou $\C$ et on suppose que $E$ est de dimension finie. Soit $K$ une partie compacte non vide de $E$ et $f:K\to E$ une application continue vérifiant les deux conditions suivantes: $f(K)\subset K$ et $(\star)\quad \fa(x,y)\in\K^2,x \neq y \im \|f(x)-f(y)\| < \|x-y\|$. On se propose démontrer que l'on a les deux points suivants:
- $f$ admet un point fixe unique $\ell$.
- Pour tout élément $a\in K$, la suite $(x_n)$ définie par $\cax{x_0=a}{\fa n \in \N, x_{n+1}=f(x_n)}$ converge vers $\ell$.
Commençons par le premier point et considérons l'application $g:K\to \R; x\mapsto g(x)=\|f(x)-x\|$ qui est une fonction continue sur le compact $K$, donc elle est bornée et atteint ses bornes, en particulier sa borne inférieure, donc il existe $\ell\in K$ tel que $g(\ell)=\inf\limits_{x\in \K}\|f(x)-x\|$. On a $f(\ell)=\ell$ car sinon, d'après la condition $(\star)$ sur $f$ on aurai : $\|f(f(\ell))-f(\ell)\| < \|f(\ell)-\ell\|$, ce qui contredit la définition de $\ell$.
Unicité: Si $\ell_1$ et $\ell_2$ sont deux points de $K$ tel que $\ell_1 \neq \ell_2$, alors, d'après $(\star)$, on a: $\|f(\ell_2)-f(\ell_1)\| < \|\ell_2-\ell_1\|$, par suite on ne peut pas avoir $f(\ell_2)=\ell_2$ et $f(\ell_1)=\ell_1$ et $\ell_1$ et $\ell_2$ ne peuvent pas être en même temps des points fixes de $f$. Ceci prouve l'unicité du point fixe de $f$.
Soit $a\in K$ et la suite $(x_n)$ définie par $x_0=a$ et $x_{n+1}=f(x_n)$, pour tout $n\in \N$, donc la suite $(x_n)$ est à valeurs dans $K$. On va démontrer que $(x_n)$ est convergente vers $\ell$. Pour cela, il suffit de démontrer que si, pour tout $n\in \N$, on pose: $\delta_n=\|x_n-\ell\|$ alors la suite $(\delta_n)$ converge vers $0$. On remarque tout de suite que la suite $(\delta_n)$ est positive et décroissante car, si $n\in\N$, alors
$$ \delta_{n+1}=\|x_{n+1}-\ell\|=\|f(x_n)-f(\ell)\| \leq \|x_n-\ell\|$$
car si $x_n\neq \ell$, c'est vrai d'après $(\star)$ et si $x_n=\ell$ alors $x_{n+1}=f(x_n)=\ell$ et l'inégalité est vraie aussi. Il en découle que la suite $(\delta_n)$ converge vers une limite $\al$. Comme $K$ est compact, il existe $\ph:\N\to\N$ strictement croissante tel que la suite $x_{\ph(n)}$ converge vers $\ell'\in K$. Comme $f$ est lipschitzienne elle est continue donc $\limni (f(x_{\ph(n)})=f(\ell')$. $(f(x_{\ph(n)})=(x_{\ph(n)+1})$ En posant $\psi(n)=\ph(n)+1$, pour tout $n\in\N$, on a donc $\limni x_{\psi(n)}=f(\ell')$. Or, on a $\psi$ est une application strictement croissante de $\N$ vers $\N$, donc $(\delta_{\psi(n)})$ est une sous-suite de $(\delta_n)$, par suite on a $\limni \delta_{\psi(n)}=\al$. Cela veut dire que $\limni\|x_{\psi(n)}-\ell\|=\al$, donc $\limni \|f(x_{\ph(n)})-\ell\|=\al$, donc $\|f(\ell')-\ell\|=\al$. Or $\limni\delta_{\ph(n)}=\al$ donne $\limni\|x_{\ph(n)}-\ell\|=\al$, donc : $\|\ell'-\ell\|=\al$ et finalement $\|f(\ell')-f(\ell)\|=\|\ell'-\ell|$, donc $\ell=\ell'$ et $\al=0$, donc $\limni x_n=\ell$
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