Trace d'un produit de deux matrices

Soumis par Mohamed AL le mer 16/06/2021 - 00:27

Il est connu que si $n\in\N^*$ et $A$ et $B$ sont deux matrices cérrées de $\mcm_n(\K)$ avec $\K$ est un corps, alors $\tr(AB)=\tr(BA)$. Ce résultat peut se généraliser comme suit: Si $m,n \in \N^*$ et $A\in\mcm_{n,m}(\K)$ et $B\in \mcm_{m,n}(\K)$ alors $\tr(AB)=\tr(BA)$. Notons qu'avec les conditions ci-dessus on a $AB\in\mcm_n(\K)$ tandis que $BA\in\mcm_m(\K)$. La preuve de ce résultat est trés simple, en effet si on pose $A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq m}}$ , $B=(b_{i,j})_{\substack{1\leq i \leq m \\ 1\leq j \leq n}}$ et $AB=(c_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ et $BA=(d_{i,j})_{1\leq i,j \leq m}$ alors on a $\tr(AB)=\sum\limits_{i=1}^n c_{i,i}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_{i,j} b_{j,i} =\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{i=1}^n b_{j,i}a_{i,j} =\sum\limits_{j=1}^m d_{j,j}=\tr(BA)$.

Une des bonnes applications est le cas d'une matrice $M\in\mcm_n(\K)$ tel que $\rg(M)=1$. On peut démontrer qu'il existe deux matrices non nulles $U,V\in\mcm_{n,1}(\K)$ tel que $M=UV^\top$, donc $M^2=(UV^\top)(UV^\top)=(V^\top U) UV^\top$ et comme $\tr(M)=\tr(UV^\top)=\tr(V^\top U)$ et compte tenu du fait que la matrice $V^\top U\in \mcm_1(\K)$ peut se confondre avec l'unique scalaire qui la représente,  on a  en conséquence $\tr(M)=V^\top U$ et finalement: $M^2=\tr(M)M$. Cela nous aide lors de l'étude de la réduction des matrices de rang $1$, en particulier si on note $\tau=\tr(M)$,  le polynôme $X^2-\tau X=X(X-\tau)$ est un polynôme annulateur de $M$, il est scindé à racines simples si  $\tau\neq 0$, donc si  $\tau\neq 0$ la matrice $M$ est diagonalisable. Par ailleurs, si $\tau=0$, on a $M^2=0$, donc $M$ est nilpotente, et comme $M\neq 0$ (car $\rg(M)=1$), elle n'est pas diagonalisable, d'où la conclusion: Un matrice de rang $1$ est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.