Dans tout ce qui suit $\K$ désigne l'un des corps $\R$ ou $\C$ et $n$ est un entier naturel non nul. On rappelle que pour toute matrice $A$ de $\mcm_n(\K)$, l'exponentielle de $A$ est la matrice $\exp(A)=\sum\limits_{n=0}^{\i}\frac{A^n}{n!}$ qui est définie par cette série qui est, comme on le sait absolument convergente quelque soit la matrice $A$. On rappelle que si $A$ est une matrice diagonale tel que $A=\diag(\la_1,\dots,\la_n)$ alors $\exp(A)=\diag(e^{\la_1},\dots,e^{\la_n})$ et que si $A$ est triangulaire supérieure(resp. inférieure); de coefficients diagonaux $a_{11},\dots, a_{nn}$ alors $\exp(A)$ est triangulaire supérieure(resp. inférieure) de coefficients diagonaux $e^{a_{11}},\dots, e^{a_{nn}}$. On rappelle aussi que si $B=P^{-1}AP$ avec $P\in\GL_n(\K)$ alors $\exp(B)=P^{-1}\exp(A)P$. Finalement $\exp(A)$ est inversible d'inverse $\exp(A^{-1})$ et $\det(\exp(A))=e^{\tr(A)}$.
Nous allons donner l'exponentielle d'une matrice $A$ dans les cas particuliers: $A$ est une matrice de projecteur, $A$ est une matrice de symétrie et finalement quand $n \geq 1$ et $\rg(A)=1$.
Ca où $A$ est une matrice de projecteur: $A^2=A$
Si $A^2=A$ alors $\fa n\in\N^*, A^n=A$, donc $\exp(A)=I_n+\left(\sum\limits_{n=1}^{\i}\frac{1}{n!}\right) A=I_n+(e-1)A$. On voit en particulier que $\exp(A)$ est dans l'algèbre $\K[A]$. On précise que $\K[A]=\K_1[A]$, chose expliquée par le polynôme minimal de $A$ qui vaut $X^2-X$ (sauf si $A=0$ ou $A=I_n$).
Cas où $A$ est une matrice de symétrie: $A^2=I_n$
Si $A^2=I_n$ alors on démontre aisément que pour tout $k\in \N$ on a $A^{2k}=I_n$ et $A^{2k+1}=A$, donc $\exp(A)=\left(\sum\limits_{k=0}^{\i}\frac{1}{(2k)!}\right) I_n + \left(\sum\limits_{k=0}^{\i}\frac{1}{(2k+1)!}\right) A$ et comme on reconnait le cosinus et le sinus hyperboliques, on a $\exp(A)=\cosh(1) I_n+ \sinh(1) A$ ou en d'autre termes: $\exp(A)=\frac{e+e^{-1}}{2} I_n+ \frac{e-e^{-1}}{2} A$.
Cas où $n\geq 2$ et $A$ une matrice de rang $1$
Si $n \geq 1$ et $\rg(A)=1$, alors les colonnes de $A$ sont toutes proportionnelles à une colonne $X=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ non nulle, donc les colonnes de $A$ sont $C_j=y_j X$ pour tout $j\in \{1,\dots, n\}$, ce qui fournit la colonne $Y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$. On peut dire que $Y\neq 0$ car sinon, toutes les colonnes de $A$ seraient nulles et $A$ serait nulle, ce qui n'est pas le cas car $\rg(A)=1$. On a donc $X\neq 0$ et $Y \neq 0$ et comme le coefficient général de $A$ est $a_{i,j}=x_iy_j$, on a $A=X\trans Y$. Calculons $A^2$. On a $A^2=X(\trans Y X) \trans Y$ et comme $\trans Y X=\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i$ et compte tenu de $A=\begin{pmatrix}x_1y_1 & \dots & x_1y_n\\\vdots&\ddots&\vdots\\x_ny_1&\dots&x_ny_n\end{pmatrix}$, on a $\tr(A)=\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i$, donc $A^2=\tau A$ où $\tau =\tr(A)$. Cela va nous faciliter le calcul de $exp(A)$ car on peut prouver parrécurrence que $\fa k \in \N^*, A^k=\tau^{k-1} A$, en effet c'est vrai si $k=1$ et si $k\in \N^*$ tel que $A^k=\tau^{k-1} A$, alors $A^{k+1}=A^{k} A=\tau^{k-1} A^2=\tau^{k-1}\tau A=\tau^k A$, ce qui termine le raisonnement par récurrence. Ainsi, on a $\exp(A)=I_n+\sum\limits_{k=1}^\i \frac{\tau^{k-1} A}{k!}= I_n+\al A$ où $\al=\sum\limits_{k=1}^{\i} \frac{\tau^{k-1}}{k!}$. Si $\tau=0$ alors il est clair que $A^k=0$, pour tout $k\geq 2$, donc $\exp(A)=I_n+A$. Si $\tau\neq 0$, on a $\al=\frac{1}{\tau}(e^{\tau}-1)$, donc $\exp(A)=I_n+\frac{e^{\tau}-1}{\tau} A$, où $\tau=\tr(A)$, dans le cas où $\tr(A)\neq 0$.
- Se connecter pour poster des commentaires