Connexité par arc du groupe orthogonal direct $O^+(n)$.

Soumis par Mohamed AL le mar 22/06/2021 - 06:22

On rappelle que si $M\in O^+(n)$ alors il existe une matrice orthogonale $P$ tel que $$M=P\begin{pmatrix}I_p&&&\\&R_{\theta_1}&&\\&&\ddots&\\&&&R_{\theta_s}\end{pmatrix} {{^t}P}$$ avec $p,s \in \N$, et les blocs : $I_p$ matrice unité de taille $p$ si $p \neq 0$ (elle n'existe pas si $p=0$), si $s \neq 0$ alors les $R_{\theta_k}$ sont des matrices de rotation de taille $2$ avec $\theta_k \neq 0, [\pi]$.
On considére l'application $$\gamma: [0,1] \to \mcm_n(\R), t \mapsto \gamma(t)=P\begin{pmatrix}I_p&&&\\&R_{t\theta_1}&&\\&&\ddots&\\&&&R_{t\theta_s}\end{pmatrix} {{^t}P}$$ Alors $\gamma$ vérifie les consditions suivantes :

  1. $\gamma$ est continue.
  2. $\gamma([0,1]) \subset O^+(n)$
  3. $\gamma(0)=I_n$ et $\gamma(1)=M$

Ceci prouve la connexité par racs de $O^+(n)$ puisque $I_n \in O^+(n)$ et que tout élément de $O^+(n)$ est joignable à $I_n$ par un chemin continu vérifiant les conditions ci-dessus.