Une caractérisation des homothéties

Soumis par Mohamed AL le mer 26/05/2021 - 20:06

Une des questions classqiues en algèbre linéaire est de prouver que si $E$ est  un $\K$-espace vectoriel et $u\in\mcl(E)$ est un enodomorphisme de $E$ alors $u$ est une homothétie si et seulement si la famille $(x,u(x))$ est liée pour tout vecteur $x$ de $E$. On propose ici des démrches  pour la démonstartion. Avant de commencer remarquons qye seulement le sens inverse qui n'est pas immédiat car si $u$ est une homothétie, il est clair que $x,u(x)$ est liée pour tout $x\in E$, puisque su $u=\la \id_E$ alors $u(x)=\la x$ pour tout $x\in E$. On va donc s'interesser uniquement  à l'implication inverse. Supposons donc que $u$ est un endomorphisme de $E$ tel que $(x,u(x))$ est liée pour tout $x\in E$, et comme le cas $E$ est nul ne pose pas de problème particulier, on suppose aussi que $E$ n'est pas réduit à $\{0\}$.

 

Première méthode :

Soit $a\in E$ tel que $a\neq  0$, donc il existe $\al\in \R$ tel que $u(a)=\al a$. Soit alors $x$ un vecteur  quelconque de $E$  alors deux cas sont possibles: Soit la famille $(x,a)$ est libre donc $x$ et $x+a$ sont non nuls et par suite donc il existe $\la,\mu \in \R$ tel que $u(x)=\la x$ et  $u(x+a)=\mu(x+a)$. On a $u(x+a)=u(x)+u(a)=\la x + \al a = \mu(x+a)$ et par liberté on a $\la=\al=\mu$, donc $u(x)=\al x$. Soit $(x,a)$ est liée, donc comme $a\neq 0$, il existe $\be  \in \K$ tel que $x=\be a$, donc  $u(x)=\beta u(a)=\la(\beta a)=\al x$. On a donc prouvé que $\fa x \in E,  \quad  u(x)=\al x$, donc que $u = \la  \id_E$.