Il est connu que si $n\in\N^*$ et $A$ et $B$ sont deux matrices cérrées de $\mcm_n(\K)$ avec $\K$ est un corps, alors $\tr(AB)=\tr(BA)$. Ce résultat peut se généraliser comme suit: Si $m,n \in \N^*$ et $A\in\mcm_{n,m}(\K)$ et $B\in \mcm_{m,n}(\K)$ alors $\tr(AB)=\tr(BA)$. Notons qu'avec les conditions ci-dessus on a $AB\in\mcm_n(\K)$ tandis que $BA\in\mcm_m(\K)$. La preuve de ce résultat est trés simple, en effet si on pose $A=(a_{i,j})_{\substack{1\leq i \leq n \\ 1\leq j \leq m}}$ , $B=(b_{i,j})_{\substack{1\leq i \leq m \\ 1\leq j \leq n}}$ et $AB=(c_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ et $BA=(d_{i,j})_{1\leq i,j \leq m}$ alors on a $\tr(AB)=\sum\limits_{i=1}^n c_{i,i}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_{i,j} b_{j,i} =\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{i=1}^n b_{j,i}a_{i,j} =\sum\limits_{j=1}^m d_{j,j}=\tr(BA)$.
Voici les liens vers les articles publiés sur mon mur sur facebook:
Cet article sur la validité des produits $AB$ et $BA$ simultanément, on trouve à la fin que $A$ et $B$ doivent être dans des espaces de matrices de la formes $\mcm_{n,m}(\K)$ et $\mcm_{m,n}(\K)$ respectivement.
Ici se trouve la question initiale qui vise une généralisation en prenant des matrices non forcément carrées mais avec des conditions sur leur tailles respectives qui valident l'existence des produits $AB$ et $BA$ en même temps.
Cette question est une conséquence d'une intervention d'un membre qui dit qu'il avait des doutes sur la formule. Il a fini par comprendre sa vérité. J'ai posé cette question pour pousser les étudiants à faire des choses de base..
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