Soit $n$ un entier naturel non nul de préférence tel que $n \geq 2$. On note $\mcd_n$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mcm_n(\C)$ et on se propose de prouver que $\mcd_n$ est dense dans $\mcm_n(\C)$. Pour cela soit $M \in \mcm_n(\C)$. On sait que $M$ est trigonalisable, donc il existe $P\in\GL_n(\C)$ et une matrice triangulaire supérieur $T$ tel que $M=PTP^{-1}$. Notons $\la_1,\dot, \la_n$ les coefficients de la diagonale de $T$ et $t_{i,j}$ le terme de la ligne $i$ et la colonne $j$ pour tout $i,j \in [\![1,n]\!]$, en particulier $t_{i,i}=\la_i$ et $t_{i,j}=0$ pour le cas $i > j$. Soit $(T_p)_{p\geq 1}$ la suite des matrices dont le terme général est noté $t_{p,i,j}$ définis par $t_{p,i,j}=\left\{\begin{array}{lcl} \la_i + \frac{1}{i+p} & \text{si} & i=j \\ t_{i,j}&\text{si}& i \neq j \end{array} \right. $, autrement dit, on perturbe les coefficients diagonaux de $T$ en leur ajoutant un infiniment petit $\frac{1}{k+p}$ qui tend vers $0$ quand $p$ tend vers $\i$, de sorte à avoir en même temps la convergence de $(T_p)$ vers $T$ et les coefficients diagonaux de $T_p$ deux à deux distincts à partir d'un certain rang, ce qui assurera qu'elle soit diagonalisable.
Soit $i,j \in \{1,\dots,n\}$ tel que $i \neq j$. Si $\la_i=\la_j$ alors il est clair que pour tout $p\in \N^*$, on a $\la_i+\frac{1}{i+p} \neq \la_j+\frac{1}{j+p}$. Suppsons désormais que $\la_i \neq \la_j$. Pour tout $p\in \N^*$ on a :$$\la_i+\frac{1}{i+p} \neq \la_j+\frac{1}{j+p} \eq p^2+p(i+j)+ c_{i,j}=0, \;\text{où}\; c_{i,j}=-\frac{i-j}{\la_i-\la_j}$$ si et seulement si $p$ est solution de l'équation du second degré: $$(E_{i,j}) \quad t^2+(i+j) t + c_{i,j}=0 $$
Comme $(E_{i,j})$ posséde au plus deux solutions et que l'ensemble des coupls $(i,j)$ est fini, il en découle qu'au maximum, un nombre fini d'entiers $p$ réalisent $\la_{i,p}=\la_{j,p}$ où $\la_{k,p}=\la_k + \frac{1}{p+k}$ pour tout $k\in \{1,\dots,n\}$. Par suite il existe un entier non nul $p_0$ tel que pour tout $p \geq p_0$, les coefficients diagonaux $(\la_{p,k})$ de $T_p$ sont deux à deux distincts, et comme $T_p$ est triangulaire supérieure, on peut affirmer que $T_p$ est diagonalisable pour tout $p \geq p_0$. Comme $M_p=PT_pP^{-1}$ est semblable à $T_p$, on peut affirmer que $(M_p)$ est une suite de matrices diagonalisables à partir de $p=p_0+1$ et par continuité de l'application $\Phi_P: \mcm_n(\C)\to\mcm_n(\C); X \mapsto \Phi_P(X)=PXP^{-1}$ et compte ten de $\lim\limits_{p \to \i} T_p=T$, on a $\lim\limits_{p \to \i} M_p=M$, donc toute matrice $M$ de $\mcm_n(\C)$ est limite d'une suite de matrices diagonalisables de $\mcm_n(\C)$, ce qui traduit la densité de $\mcd$ dans $\mcm_n(\C)$.
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