Soit $n\in \N^*$ et $A\in\mcm_n(\K)$ une matrice carrée diagonalisable ayant $n$ valeurs propres distictes $\la_1,\dots,\la_n$, alors il existe $P\in\GL_n(\K)$ tel que $A=P\Delta P^{-1}$ où $\Delta=\diag(\la_1,\dots,\la_n)$. Si $M\in\mcm_n(\K)$ est une matrice, alors on a $AM=MA \eq (PAP^{-1})(PMP^{-1})=(PMP^{-1})(PAP^{-1}) \eq \Delta M'=M'\Delta$ où $M'=PMP^{-1}$. Remarquons que le coefficient général de $\Delta M'$ et celui de $M'\Delta$ sont respectivement: $$[\Delta M']_{i,j}=\la_i[M]_{i,j} \et [M'\Delta]_{i,j}=\la_j[M']_{i,j}$$ de sorte que : $$ \Delta M'= M'\Delta \eq \fa i,j\in [\![1,n]\!], \quad (\la_i-\la_j) [M']_{i,j} = 0 .$$ Il en découle que $\Delta M'=M'\Delta$ si et seulement si $[M']_{i,j}=0$ pour tout couple $(i,j)\in [\![1,n]\!]^2$ tel que $i\neq j$ si et seulement si $M'$ est une matrice diagonale.
Il découle de cette étude que le commutant de $A$ est: $$\mcc_A= \{P\diag(\al_1,\dots, \al_n)P^{-1}/ \al_1,\dots,\al_n)\in\K^n\}$$
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