Dans tout ce qui suit $E$ est un $\C-$espace vectoriel de dimension finie $n$ avec $n\neq 0$ et $u$ est un endomorphisme de $E$. Il est aisé de prouver que si $u$ est diagonalisable alors $u^2$ est diagonalisable. Par ailleurs on peut démontrer que si $u$ est diagonalisable alors $\ker(u)=\ker(u^2)$. On se propose de voir la réciproque: Si $u^2$ est diagonalisable et si de plus $\ker(u)=\ker(u^2)$ est ce que $u$ est diagonalisable? La réponse est affirmative et elle est aisé dans le cas où $u$ est inversible car dans ce cas, on a même $u^2$ diagonalisable $\im$ $u$ est diagonalisable (sans la condtion $\ker(u^2)=\ker(u)$.)
Soit alors $u$ un endomorphisme non inversible et non nul tel que $u^2$ est diagonalisable et $\ker(u)= \ker(u^2)$, démontrons que $u$ est diagonalisable. Puisque $u^2$ est diagonalisable, le polynôme minimal $\Pi$ de $u^2$ est scindé à racines simples et comme $u$ n'est pas inversible il en est de même de $u^2$, donc $0\in\spec(u^2)$ et comme $u$ est non nul, on a $\Pi=XQ(X)$ avec $Q(0)\neq 0$ et $Q$ est scindé à racines simples. Par le lemme des noyaux on a $E=\ker(u^2)\oplus \ker(Q(u^2))$ et comme $\ker(u)=\ker(u^2)$, il vient $E=\ker(u)\oplus \ker(Q(u^2))$. Notons $F=\ker(u)$ et $G=\ker(Q(u^2))$, donc $F$ et $G$ sont stables par $u$ et si on note $v$ et $w$ les endomorphismes induits respectifs on a $v=0$ et $w$ est bijectif et comme $u^2$ est diagonalisable $w^2$ est diagonalisable donc $w$ est diagonalisable(car $w$ est inversible), donc $u$ est diagonalisable. Remarquons que si $\mcv$ est une base de $F$ et $\mcw$ une base de diagonalisation de $w$ dans $G$ et $\delta=\mat_\mcw(w)$, qui est donc diagonale alors en prenant la base adaptées $\mcb=\mcv\cup\mcw$ de $E$ on a $\mat_\mcb(u)=\begin{pmatrix}0&0\\0&\Delta\end{pmatrix}$.
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