Examinons la question suivante: Soit $X$ un vecteur de $\R^n$ ($n$ est un entier naturel non nul). Est ce qu'on peut dire que pour tout vecteur $Y$ de $\R^n$, il existe une matrice carrée $M\in\mcm_n(\R)$ tel que $MX=Y$? La question semble simple mais elle peut avoir des applications. Pour répondre à cette question(la réponse est oui), commençons par observer que comme $X=X_1$ est non nul, il existe une base de $\R_n$ de la forme $b=(X_1,\dots, X_n)$ et par suite pour tout $Y\in\R^n$, si on considère une famille de vecteurs $(Y_1, \dots, Y_n)$ tel que $Y_1=Y$, on sait qu'il existe un et un seule endomorphisme $f$ de $\R^n$ tel que $f(X_k)=Y_k$ pour tout $k\in \{1,\dots, n\}$. Si on considère $M$ la matrice de $f$ relativement à la base canonique de $\R^n$, on a alors $\fa k \in \{1,\dots, n\}, MX_k=Y_k$, et en particulier $MX=Y$ (il suffit d'appliquer pour $k=1$.)
Une autre méthode consiste à démontrer que pour tout vecteur non nul $X$ de $\R^n$, l'application $\Phi_X: \mcm_n(\R)\to\R^n; M \mapsto \Phi_X(M)=MX$ est surjective, et pour ce faire il suffit, par exemple de remarquer que si on pose $X=(x_k)$, alors comme $X \neq 0$, il existe $j \in \{1,\dots, n \}$ tel que $x_j \neq 0$. On considére alors les matrices de la base canonique de la forme $E_{i,j}$ pour $i \in \{1, \dots, n \}$ et on observe que : $$\fa i \in \{1,\dots,n \}, \quad \Phi_X(E_{i,j})=x_j E_i$$ où $\mcb=(E_i)_{1\leq i \leq n}$ est la base canonque de $\R^n$, ce qui prouve que $\Phi_X(\mcb)=x_j \mcb$ est une famille libre de $\R^n$, donc $\rg(\Phi_X)=n$ et prouve que $\Phi_X$ est surjective.
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