Trois polynômes

Soumis par Mohamed AL le mer 26/05/2021 - 20:22

Soit $u$ un endomorphisme trigonalisable de $E$ où $E$ est un espace vctoriel de dimension $n$. On note $\la_1,\dots, \la_m$ toutes les valeurs propres deux à deux distinctes de $u$. On dispose de trois polynômes: $P_u=\prod\limits_{k=1}^n (X-\la_k)$, $\pi_u$ le polynôme minimal de $u$ et $\chi_u$ le polynôme caractéristique de $u$ et ils sont liés par la relation de divisibilité  $P_u |  \pi_u  | \chi_u$ et comme on le voit ils sont tous unitaires.

Une caractérisation des homothéties

Soumis par Mohamed AL le mer 26/05/2021 - 20:06
Une des questions classiques en algèbre linéaire est de prouver que si $E$ est un $\K$-espace vectoriel et $u\in\mcl(E)$ est un endomorphisme de $E$ alors $u$ est une homothétie si et seulement si la famille $(x,u(x))$ est liée pour tout vecteur $x$ de $E$. On propose ici des démarches pour la démonstration.

Le commutant d'une matrice diagonalisable avec un spectre maximal

Soumis par Mohamed AL le jeu 20/05/2021 - 23:47

Soit $n\in \N^*$ et  $A\in\mcm_n(\K)$ une matrice carrée diagonalisable ayant $n$ valeurs propres distictes $\la_1,\dots,\la_n$, alors il existe $P\in\GL_n(\K)$ tel que $A=P\Delta P^{-1}$ où $\Delta=\diag(\la_1,\dots,\la_n)$. Si $M\in\mcm_n(\K)$ est une matrice, alors on a $AM=MA \eq (PAP^{-1})(PMP^{-1})=(PMP^{-1})(PAP^{-1}) \eq \Delta M'=M'\Delta$ où $M'=PMP^{-1}$.

Hyperplans, formes linéaires

Soumis par Mohamed AL le mar 18/05/2021 - 23:24

Dans tout ce qui suit, $\K$ désigne l'un des corps $\R$ ou $\C$ et $E$ un espace vectoriel sur $\K$ de dimension finie ou infinie. Le but de cet article est de donner quelques idées sur les hyperplans en dimension fini et infinie, le lien avec les formes linéaires et la caractérisation de la continuité d'une forme linéaire avec la nature de son noyau.

 

Densité des matrices diagonalisables

Soumis par Mohamed AL le mar 18/05/2021 - 18:27

Soit  $n$ un entier naturel non nul de préférence tel que  $n \geq 2$. On note $\mcd_n$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mcm_n(\C)$ et  on se propose de prouver que $\mcd_n$ est dense dans $\mcm_n(\C)$. Pour cela soit $M \in \mcm_n(\C)$. On sait que $M$ est trigonalisable, donc  il existe  $P\in\GL_n(\C)$ et une matrice triangulaire supérieur $T$ tel que  $M=PTP^{-1}$.

Le groupe orthogonal est compact

Soumis par Mohamed AL le mar 18/05/2021 - 15:16

On rappelle que si $E$ est un $\K-$espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes de $E$ sont équivalentes. On suppose que $(E,\prsc{.})$ est un espace euclidien de dimension $n$ avec $n\in\N^*$ et on note $\O_n(E)$ le groupe des endomorphismes orthogonaux de $E$ (un endomorphisme $u\in\mcl(E)$ est orthogonal si et seulement si $u$ conserve la norme si et seulement si $u$ conserve le produit scalaire.

Produit de deux matrices: une façon de voir

Soumis par Mohamed AL le lun 17/05/2021 - 23:57

$\def\trans{^{\text{t}}}\def\K{\mathbb K}\def\fa{\forall}$ Quand un étudiant découvre, pour la première fois, la définition du produit de deux matrices, il est surpris par la condition imposée sur les tailles des deux matrices tout comme la façon avec laquelle on définit le produit. Si $A\in\mcm_{n,r}(\K)$ et $B\in\mcm_{r,p}(\K)$, notons $(L_i)_{i\in[\![1,n]\!]}$ la famille des lignes de $A$ et $(C_j)_{j\in[\![1,p]\!]}$ la famille des colonnes de $B$ et  pour tout $(i,j)\in[\![1,n]\!]\times[\![1,p]\!]$, considérons le scalaire $c_{i,j}=L_i \trans{}C_j$.