Il est connu que si $n\in\N^*$ et $A$ et $B$ sont deux matrices cérrées de $\mcm_n(\K)$ avec $\K$ est un corps, alors $\tr(AB)=\tr(BA)$. Ce résultat peut se généraliser comme suit: Si $m,n \in \N^*$ et $A\in\mcm_{n,m}(\K)$ et $B\in \mcm_{m,n}(\K)$ alors $\tr(AB)=\tr(BA)$. Notons qu'avec les conditions ci-dessus on a $AB\in\mcm_n(\K)$ tandis que $BA\in\mcm_m(\K)$.

Soit $u$ un endomorphisme trigonalisable de $E$ où $E$ est un espace vctoriel de dimension $n$. On note $\la_1,\dots, \la_m$ toutes les valeurs propres deux à deux distinctes de $u$. On dispose de trois polynômes: $P_u=\prod\limits_{k=1}^n (X-\la_k)$, $\pi_u$ le polynôme minimal de $u$ et $\chi_u$ le polynôme caractéristique de $u$ et ils sont liés par la relation de divisibilité  $P_u |  \pi_u  | \chi_u$ et comme on le voit ils sont tous unitaires.

Examinons la question suivante: Soit $X$ un vecteur de $\R^n$  ($n$ est un entier naturel non nul). Est ce qu'on peut dire que pour tout vecteur $Y$ de $\R^n$, il existe une matrice carrée $M\in\mcm_n(\R)$ tel que $MX=Y$? La question semble simple mais elle peut avoir des applications.

Soit $n\in \N^*$ et  $A\in\mcm_n(\K)$ une matrice carrée diagonalisable ayant $n$ valeurs propres distictes $\la_1,\dots,\la_n$, alors il existe $P\in\GL_n(\K)$ tel que $A=P\Delta P^{-1}$ où $\Delta=\diag(\la_1,\dots,\la_n)$. Si $M\in\mcm_n(\K)$ est une matrice, alors on a $AM=MA \eq (PAP^{-1})(PMP^{-1})=(PMP^{-1})(PAP^{-1}) \eq \Delta M'=M'\Delta$ où $M'=PMP^{-1}$.

Dans tout ce qui suit, $\K$ désigne l'un des corps $\R$ ou $\C$ et $E$ un espace vectoriel sur $\K$ de dimension finie ou infinie. Le but de cet article est de donner quelques idées sur les hyperplans en dimension fini et infinie, le lien avec les formes linéaires et la caractérisation de la continuité d'une forme linéaire avec la nature de son noyau.

Soit  $n$ un entier naturel non nul de préférence tel que  $n \geq 2$. On note $\mcd_n$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mcm_n(\C)$ et  on se propose de prouver que $\mcd_n$ est dense dans $\mcm_n(\C)$. Pour cela soit $M \in \mcm_n(\C)$. On sait que $M$ est trigonalisable, donc  il existe  $P\in\GL_n(\C)$ et une matrice triangulaire supérieur $T$ tel que  $M=PTP^{-1}$.

On rappelle que si $E$ est un $\K-$espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes de $E$ sont équivalentes. On suppose que $(E,\prsc{.})$ est un espace euclidien de dimension $n$ avec $n\in\N^*$ et on note $\O_n(E)$ le groupe des endomorphismes orthogonaux de $E$ (un endomorphisme $u\in\mcl(E)$ est orthogonal si et seulement si $u$ conserve la norme si et seulement si $u$ conserve le produit scalaire.

$\def\trans{^{\text{t}}}\def\K{\mathbb K}\def\fa{\forall}$ Quand un étudiant découvre, pour la première fois, la définition du produit de deux matrices, il est surpris par la condition imposée sur les tailles des deux matrices tout comme la façon avec laquelle on définit le produit. Si $A\in\mcm_{n,r}(\K)$ et $B\in\mcm_{r,p}(\K)$, notons $(L_i)_{i\in[\![1,n]\!]}$ la famille des lignes de $A$ et $(C_j)_{j\in[\![1,p]\!]}$ la famille des colonnes de $B$ et  pour tout $(i,j)\in[\![1,n]\!]\times[\![1,p]\!]$, considérons le scalaire $c_{i,j}=L_i \trans{}C_j$.