Dans tout ce qui suit $E$ est un $\C-$espace vectoriel de dimension finie $n$ avec $n\neq 0$ et $u$ est un endomorphisme de $E$. Il est aisé de prouver que si $u$ est diagonalisable alors $u^2$ est diagonalisable. Par ailleurs on peut démontrer que si $u$ est diagonalisable alors $\ker(u)=\ker(u^2)$. On se propose de voir la réciproque: Si $u^2$ est diagonalisable et si de plus $\ker(u)=\ker(u^2)$ est ce que $u$ est diagonalisable?

Dans tout ce qui suit $\K$ désigne l'un des corps $\R$ ou $\C$  et $n$ est un entier  naturel non nul. On rappelle que pour toute matrice $A$ de $\mcm_n(\K)$, l'exponentielle de $A$ est la matrice $\exp(A)=\sum\limits_{n=0}^{\i}\frac{A^n}{n!}$ qui est définie par cette série qui est, comme on le sait absolument convergente quelque soit la matrice $A$. On rappelle que si $A$ est une matrice diagonale tel que $A=\diag(\la_1,\dots,\la_n)$ alors $\exp(A)=\diag(e^{\la_1},\dots,e^{\la_n})$ et que si $A$ est triangulaire supérieure(resp.

On considère un espace vectoriel normé $(E,\|.\|)$ sur le corps $\K$ avec $\K=\R$ ou $\C$ et on suppose que $E$ est de dimension finie. Soit $K$ une partie compacte non vide de $E$ et $f:K\to E$ une application continue vérifiant les deux conditions suivantes: $f(K)\subset K$ et $(\star)\quad \fa(x,y)\in\K^2,x \neq y \im \|f(x)-f(y)\| < \|x-y\|$. On se propose démontrer que l'on a les deux points suivants:

Introduction: topologie, topologie usuelle de la droite réelle

La définition générale d'un espace topologique est la suivante: Un espace topologique est un couple $(E,\mco)$ tel que $E$ est un ensemble et $\mco$ une partie de $\mcp(E)$, l'ensemble des parties de $E$ tel que $\emptyset$ et $E$ sont des éléments de $\mco$ et $\mco$ est stable par réunion et par  intersection finie.

Le but de cet article est d'examiner la somme partielle de la série harmonique et de prouver qu'elle n'est pas entière si son rang est supérieur ou égal à $2$ (en effet pour $n=1$, elle vaut $1$. On établira un résultat d'arithmétique qui servira le lond de la démonstration et on donnera sa preuve. Ensuite on va généraliser en démontrant que le résultat reste vrai  si au lieu de la somme partielle on considère des paquets de Cauchy de celle-ci avec un démarrage en $p$ et une fin en $q$ tel que $1 \leq p < q$.

Dans tout ce qui suit $\mathbb{K}$ designe $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$
Théorie:
Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{K})$ une matrice trigonalisable ayant une unique valeur propre $\lambda$ tel que le sous-espace propre associé est un droite vectorielle.

Soit $E=\R^3$ et soit $u \in L(E)$. Notre objectif est de déterminer tous les sous-espaces de $E$ stables par $u$.

je viens de redémontrer que la dimension de $\text{Vect}(N)$ est $n^2-1$ avec $N$ l'ensemble des matrices nilpotentes. Toute matrice nilpotente est de trace nulle donc $V$ est contenu dans l'hyperplan des matrices de trace nulle. donc sa dimension ne dépasse pas $n^2-1$. Or on montrer que si $A$ est une matrice de trace nulle elles est semblable à une matrice dont les termes diagonaux sont tous nuls. cette dernière est somme d'une matrice triangulaire sup et une autre tr inf.

On rappelle que si $M\in O^+(n)$ alors il existe une matrice orthogonale $P$ tel que $$M=P\begin{pmatrix}I_p&&&\\&R_{\theta_1}&&\\&&\ddots&\\&&&R_{\theta_s}\end{pmatrix} {{^t}P}$$ avec $p,s \in \N$, et les blocs : $I_p$ matrice unité de taille $p$ si $p \neq 0$ (elle n'existe pas si $p=0$), si $s \neq 0$ alors les $R_{\theta_k}$ sont des matrices de rotation de taille $2$ avec $\theta_k \neq 0, [\pi]$.