La somme partielle de la série harmonique n'est pas un entier

Soumis par Mohamed AL le dim 04/07/2021 - 19:23

Le but de cet article est d'examiner la somme partielle de la série harmonique et de prouver qu'elle n'est pas entière si son rang est supérieur ou égal à $2$ (en effet pour $n=1$, elle vaut $1$. On établira un résultat d'arithmétique qui servira le lond de la démonstration et on donnera sa preuve. Ensuite on va généraliser en démontrant que le résultat reste vrai  si au lieu de la somme partielle on considère des paquets de Cauchy de celle-ci avec un démarrage en $p$ et une fin en $q$ tel que $1 \leq p < q$.

Sous-espace engendré par les matrices nilpotentes

Soumis par Mohamed AL le mar 22/06/2021 - 06:25

je viens de redémontrer que la dimension de $\text{Vect}(N)$ est $n^2-1$ avec $N$ l'ensemble des matrices nilpotentes. Toute matrice nilpotente est de trace nulle donc $V$ est contenu dans l'hyperplan des matrices de trace nulle. donc sa dimension ne dépasse pas $n^2-1$. Or on montrer que si $A$ est une matrice de trace nulle elles est semblable à une matrice dont les termes diagonaux sont tous nuls. cette dernière est somme d'une matrice triangulaire sup et une autre tr inf.

Connexité par arc du groupe orthogonal direct $O^+(n)$.

Soumis par Mohamed AL le mar 22/06/2021 - 06:22

On rappelle que si $M\in O^+(n)$ alors il existe une matrice orthogonale $P$ tel que $$M=P\begin{pmatrix}I_p&&&\\&R_{\theta_1}&&\\&&\ddots&\\&&&R_{\theta_s}\end{pmatrix} {{^t}P}$$ avec $p,s \in \N$, et les blocs : $I_p$ matrice unité de taille $p$ si $p \neq 0$ (elle n'existe pas si $p=0$), si $s \neq 0$ alors les $R_{\theta_k}$ sont des matrices de rotation de taille $2$ avec $\theta_k \neq 0, [\pi]$.

Trace d'un produit de deux matrices

Soumis par Mohamed AL le mer 16/06/2021 - 00:27

Il est connu que si $n\in\N^*$ et $A$ et $B$ sont deux matrices cérrées de $\mcm_n(\K)$ avec $\K$ est un corps, alors $\tr(AB)=\tr(BA)$. Ce résultat peut se généraliser comme suit: Si $m,n \in \N^*$ et $A\in\mcm_{n,m}(\K)$ et $B\in \mcm_{m,n}(\K)$ alors $\tr(AB)=\tr(BA)$. Notons qu'avec les conditions ci-dessus on a $AB\in\mcm_n(\K)$ tandis que $BA\in\mcm_m(\K)$.

Trois polynômes

Soumis par Mohamed AL le mer 26/05/2021 - 20:22

Soit $u$ un endomorphisme trigonalisable de $E$ où $E$ est un espace vctoriel de dimension $n$. On note $\la_1,\dots, \la_m$ toutes les valeurs propres deux à deux distinctes de $u$. On dispose de trois polynômes: $P_u=\prod\limits_{k=1}^n (X-\la_k)$, $\pi_u$ le polynôme minimal de $u$ et $\chi_u$ le polynôme caractéristique de $u$ et ils sont liés par la relation de divisibilité  $P_u |  \pi_u  | \chi_u$ et comme on le voit ils sont tous unitaires.

Une caractérisation des homothéties

Soumis par Mohamed AL le mer 26/05/2021 - 20:06

Une des questions classqiues en algèbre linéaire est de prouver que si $E$ est  un $\K$-espace vectoriel et $u\in\mcl(E)$ est un enodomorphisme de $E$ alors $u$ est une homothétie si et seulement si la famille $(x,u(x))$ est liée pour tout vecteur $x$ de $E$. On propose ici des démrches  pour la démonstartion. Avant de commencer remarquons qye seulement le sens inverse qui n'est pas immédiat car si $u$ est une homothétie, il est clair que $x,u(x)$ est liée pour tout $x\in E$, puisque su $u=\la \id_E$ alors $u(x)=\la x$ pour tout $x\in E$.