Point fixe pour une fonction de classe C1 sur R+*

Question

296 views26 mai 2020Fonction réelle ou complexe de variables réelle

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Anonyme 25 mai 2020 0 Comments

Soit $f:]0,\i[ \to ]0,\i[$ une application de classe $C^1$ tel qu’il existe une constante $k\in [0,1[$ tel que : $\fa x > 0, |f'(x)| \leq k f(x)$ . Est ce qu’on peut affirmer qu’il existe $c \in ]0,\i[$ tel que $f(c)=c$ ( c’est-à-dire que $f$ admet un point fixe).

Mohamed Unselected an answer 26 mai 2020

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Mohamed · Answer 1 · 2020-05-26T12:50:08+00:00

Indication 1 : Theoreme des accroissements finis.

Indication 2 : Stabilité de point fixe, cad, appartenance au même ensemble.

On a $\forall x \in \mathbb{R}_*^+, |f'(x)| \leq k f(x)$

Or f est strictement positive on a $\forall x \in \mathbb{R}_*^+$ , $\frac{|f'(x)|}{f(x)} \leq k$

Par le theoreme d’ingalité des accroissements finies : on obtient $\forall x,y \in \mathbb{R}_*^+$ , $|ln(f(x))-ln(f(y))| \leq k |x-y|$

Soit donc $U_0 \in \mathbb{R}_*^+$ , On note $g(x)=ln(f(x))$ et on pose $g(U_n)=U_{n+1}$ $\forall n \in \mathbb{N}$

On a donc $|U_{n+p} - U_n| \leq \frac{K^n}{1-K} |U_1-U_0|$

En conclus que (U_n) est une suite de cauchy , donc convergente vers $\alpha \in \mathbb{R}$ ( On rappele que $\mathbb{R}$ est complet )

on a donc quand $n \rightarrow +\infty$ $g(U_n) \rightarrow \alpha$

qui est equivalent à dire $f(U_n) \rightarrow e^{\alpha}$

Or $\forall x \in R$ , $e^x > 0$ donc $e^{\alpha} \in \mathbb{R}_*^+$

Par continuité de $f$ on a $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(U_{n+1}) = f(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(U_{n})$ donc $f(\alpha)=\alpha$

Unicité : Si une application contractante admet une point fixe , il est unique ( à verifier )

Remarques : On peut remarquer que pour une fonction ait une point fixe
Soit une fonction $g$ définie sur un intervalle fermé I, pas nécessairement borné, de et vérifiant les conditions suivantes :
– l’intervalle $I$ est stable par $g$ ;
– $g$ est strictement contractante sur l’intervalle $I$ de rapport $k < 1$

Alors la fonction $g$ admet un point fixe unique $\alpha$ et la suite $(u_n)$ définie par son premier terme
$u_0 \in I$ et la relation de récurrence $u_n=g(u_{n+1})$ converge bien vers $\alpha$ .
On peut remarquer que $I$ n’est pas fermé. En cas général, 0 est un adhérent de $\R_*^+$ , on peut facilement construire une suite $u_n=\frac{1}{n}$ qui converge vers 0 mais 0 n’appartient pas à $I=\R_*^+$ .

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