Soit une application de classe
tel qu’il existe une constante
tel que :
. Est ce qu’on peut affirmer qu’il existe
tel que
( c’est-à-dire que
admet un point fixe).
1 Réponses
Indication 1 : Theoreme des accroissements finis.
Indication 2 : Stabilité de point fixe, cad, appartenance au même ensemble.
On a
Or f est strictement positive on a ,
Par le theoreme d’ingalité des accroissements finies : on obtient ,
Soit donc , On note
et on pose
On a donc
En conclus que (U_n) est une suite de cauchy , donc convergente vers ( On rappele que
est complet )
on a donc quand
qui est equivalent à dire
Or ,
donc
Par continuité de on a
donc
Unicité : Si une application contractante admet une point fixe , il est unique ( à verifier )
Remarques : On peut remarquer que pour une fonction ait une point fixe
Soit une fonction définie sur un intervalle fermé I, pas nécessairement borné, de et vérifiant les conditions suivantes :
– l’intervalle est stable par
;
– est strictement contractante sur l’intervalle
de rapport
Alors la fonction admet un point fixe unique
et la suite
définie par son premier terme
et la relation de récurrence
converge bien vers
.
On peut remarquer que n’est pas fermé. En cas général, 0 est un adhérent de
, on peut facilement construire une suite
qui converge vers 0 mais 0 n’appartient pas à
.